Dr. Joa Weber
Einführung in die symplektische Geometrie
Vorlesung
Wintersemester 2008/09
Die Wurzeln der symplektischen Geometrie liegen in der Physik, genauer in der Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik. Diese führt zum Begriff der symplektischen Form, zunächst auf dem Euklidischen Raum.
Die symplektische Geometrie hinterfragt nun die Existenz einer symplektischen Form auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit M. Deren Dimension ist notwendigerweise gerade, sagen wir 2n. Wählt man zusätzlich eine Funktion H auf M erhält man ein dynamisches System - den vom zugehörigen Hamiltonschen Vektorfeld auf M erzeugten Fluss. Die Hamiltonfunktion H ist eine Erhaltungsgrösse dieses Flusses. Gibt es weitere? Die maximale Anzahl ist n, eine Unabhängigkeitsbedingung vorausgesetzt, und in diesem Fall spricht man von einem integrablen System.
Symmetrien des Systems fuehren zu Erhaltungsgrössen (Theorem von Noether). Diese wiederum fuehren zum Begriff der symplektischen Reduktion - durch Quotientenbildung erhält man eine neue symplektische Mannigfaltigkeit kleinerer Dimension.
Ein weit neueres Gebiet der Physik ist die Stringtheorie mit dem Problem der Spiegelsymmetrie. Zentrale Objekte hierbei sind spezlelle Lagrange Untermannigfaltigkeiten in ganz speziellen symplektischen Mannigfaltigkeiten - Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten. Eine Untermannigfaltigkeit L einer symplektischen Mannigfaltigkeit heisst Lagrange falls die Einschränkung der symplektischen Form identisch verschwindet.
Im ersten Teil der Vorlesung studieren wir zuerst (spezielle) Lagrange Unterräume und (spezielle) Lagrange Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raumes der Dimension 2n. Anhand von zahlreichen Beispielen
erschliessen wir die Begriffe. Anschliessend behandeln wir den Fall in welchem der euklidische Raum durch eine symplektische Mannigfaltigkeit ersetzt ist.
Der zweite Teil der Vorlesung ist ũber Hamiltonsche Geometrie. Im Rahmen der verbleibenden Zeit behandeln wir folgende Themen: Integrable Systeme, Wirkung kompakter Liegruppen, Hamiltonsche Gruppenwirkungen, Momentenabbildung, Konvexität, symplektische Reduktion, torische symplektische Mannigfaltigkeiten.
Link:: http://www.math.sunysb.edu/~joa/TEACHING/08WS-SympGeom/08WS-SympGeom.html
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