Dr. Joa Weber
Die Geometrie der Gruppe der symplektischen Diffeomorphismen
Vorlesung
Sommersemester 2009
Wir studieren die Geometrie und die Topologie der Gruppe Ham(M, Ω) der Hamiltonschen Diffeomorphismen einer symplektischen Mannigfaltigkeit. Aus der Sicht der klassischen Mechanik ist dies die Gruppe der zulässigen Bewegungen.
Gegeben ein Hamiltonscher Diffeomorphismus f, welche Energie wird mindestens benötigt um f zu erzeugen? Die Untersuchung dieser Frage führte Helmut Hofer 1990 zur Entdeckung einer kanonischen biinvarianten Metrik auf Ham(M, Ω). Die resultierende Geometrie auf der unendlich dimensionalen Gruppe Ham(M, Ω) heisst Hofer Geometrie. Was ist der Durchmesser dieser Gruppe? Was sind ihre Geodäten? Was ist das Längenspektrum?
In der Vorlesung werden wir diese Fragen in Spezialfällen beantworten. Hierbei verwenden wir verschiedene nichttriviale Theorien. So fusst zum Beispiel bereits der Beweis der Nichtdegeneriertheit der Hofer Metrik auf Gromov's holomorphen Scheiben mit Lagrangeschen Randbedingungen. Bei der Untersuchung der Fundamentalgruppe und des Längenspektrums von Ham(M, Ω) verwenden wir symplektische Faserungen und Gromov's Theorie der pseudoholomorphen Kurven. Geodäten studieren wir mit Hilfe von Floer Homologie. Natürlich werden diese Theorien in der Vorlesung vorgestellt, aber sie können (ebenfalls natürlich) in einer zweistündigen Vorlesung nicht mit allen Details bewiesen werden.
Link: http://www.math.sunysb.edu/~joa/TEACHING/09SS-HAM/09SS-Ham.html
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